Veronika Dropčová
veronika.dropcova(at)gmail.com

   nika.blog.matfyz.sk

Prevody z desiatkovej do dvojkovej sústavy

Naučíme sa dva algoritmy na prevody z desiatkovej sústavy do dvojkovej (binárnej). Je na vás, pre ktorý sa rozhodnete.

Delenie so zvyškom

Majme číslo 9910. Na to, aby sme ho previedli do binárnej sústavy, využijeme matiku zo 4. ročníka základnej školy (delenie so zvyškom). Keďže prevádzame do dvojkovej sústavy, budeme deliť dvojkou. (Čím by sme delili, keby sme číslo prevádzali do trojkovej sústavy?) Akékoľvek číslo vydelené dvojkou dá po delení zvyšok 0 (ak bolo párne) alebo 1 (ak bolo nepárne). (Čo myslíte, aké zvyšky dajú ľubovoľné čísla po delení trojkou?). Takže:

99 : 2 = 49, zvyšok 1
49 : 2 = 24, zvyšok 1
24 : 2 = 12, zvyšok 0
12 : 2 = 6, zvyšok 0
6 : 2 = 3, zvyšok 0
3 : 2 = 1, zvyšok 1
1 : 2 = 0, zvyšok 1

S delením skončíme vtedy, keď sa dostaneme k nulovému výsledku. Číslo 99 v dvojkovej sústave sa rovná číslu zloženému z číslic, ktoré zodpovedajú zvyškom delenia a sú zapísané „odspodu“. Teda:

9910 = 11001112

 

Hľadanie mocnín dvojky

K tomuto postupu je nevyhnutné poznať mocniny dvojky (aspoň po desiatu mocninu). Sú to jednoduché čísla a krátkou praxou si ich isto zapamätáte. Tak teda:

mocnina 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
výsledok 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

 

Majme teraz číslo 99 (znova). Najskôr si položíme otázku: aká najvyššia mocnina dvojky sa nachádza v 99? Odpoveď: je to číslo 64, čiže 6. mocnina dvojky. Moje výsledné číslo v dvojkovej sústave bude mať teda 7 cifier (pretože musíme rátať aj s nultou mocninou).

9910 = _ _ _ _ _ _ _2

Viem, že šiesta mocnina dvojky sa tam nachádza raz. Na prvé (najvyššie) miesto v mojom binárnom čísle si teda napíšem jednotku:

9910 = 1 _ _ _ _ _ _2

Z pôvodného čísla (99) som už 64 zapísala, ostáva mi teda spracovať zvyšok čísla, čo je 99-64 = 35.

A teraz sa pýtam: nachádza sa piata mocnina dvojky (číslo 32) v čísle 35? Odpoveď: áno, takže na ďalšiu pozíciu do binárneho čísla si zapíšem ďalšiu jednotku.

9910 = 1 1 _ _ _ _ _2

Z čísla 35 som teraz takto spracovala 32, potrebujem teda spracovať už iba ten zvyšok čísla, teda 35 – 32 = 3.

Pýtam sa: nachádza sa štvrtá mocnina dvojky (číslo 16) v čísle 3? Odpoveď: nie, preto si zapíšem 0.

9910 = 1 1 0 _ _ _ _2

Nič som nespracovala, nič teda nebudem odratávať a pokračujem ďalej s číslom 3. Pýtam sa: nachádza sa tretia mocnina dvojky (číslo 8) v čísle 3? Odpoveď: nie, preto si zapíšem 0.

9910 = 1 1 0 0 _ _ _2

Pýtam sa ďalej: nachádza sa druhá mocnina dvojky (číslo 4) v čísle 3? Odpoveď: nie, preto si zapíšem 0.

9910 = 1 1 0 0 0 _ _2

Pýtam sa ďalej: nachádza sa prvá mocnina dvojky (číslo 2) v čísle 3? Odpoveď: áno, takže si zapíšem jednotku.

9910 = 1 1 0 0 0 1 _2

Odčítam to, čo som práve zapísala, teda 3 – 2 = 1. A pýtam sa ďalej: nachádza sa nultá mocnina dvojky (číslo 1) v čísle 1? Odpoveď: áno, zapíšem si teda jednotku.

9910 = 1 1 0 0 0 1 12

Odčítam to, čo som práve zapísala, teda 1 – 1 = 0. A som na konci. Číslo mám prevedené z desiatkovej do dvojkovej sústavy.

Úlohy

  1. Preveďte nasledujúce čísla z desiatkovej do dvojkovej sústavy:
    1. 1010
    2. 10010
    3. 5310
    4. 25510
    5. 51210
  2. Bez počítania určte, koľko cifier budú mať nasledovné čísla po prevedení z desiatkovej do dvojkovej sústavy:
    1. 1310
    2. 6310
    3. 12910
    4. 100010
    5. 36810
  3. Čo majú spoločné všetky nepárne čísla zapísané v dvojkovej sústave?
  4. Ako vyzerajú jednotlivé mocniny dvojky zapísané v dvojkovej sústave?