Veronika Dropčová
veronika.dropcova(at)gmail.com

   nika.blog.matfyz.sk

04 – Sčitovanie, odčitovanie a násobenie v binárnej sústave

Sčitovanie

Na sčitovanie v binárnej sústave používame rovnaké pravidlá, ako na sčitovanie v desiatkovej sústave. Pripomeňme si teda najskôr to:

 

54
38
??

 

Ako postupujeme? Najskôr spočítame 4+8, výsledok je 12. Nezapíšeme však 12-stku, zapíšeme iba 2 a jednotku si prenášame ďalej.

54
38
?2

 

5+3+1prenesená = 9, to zapíšeme a ďalej si už nepresúvame nič.

 

54
38
92

 

Rovnaké pravidlá platia aj v dvojkovej sústave – akonáhle súčtom dostaneme číslo, ktoré má viac ako jednu cifru, jeho poslednú cifru zapíšeme a tie predchádzajúce prenášame. Pozrime sa napríklad na toto (už v dvojkovej sústave – malé dvojky tam teraz nebudem uvádzať):

 

111010
+10110
??????

 

Postupujeme teda odzadu. 0+0 je nula vždy, zapíšeme teda 0 a nič neprenášame.

 

111010
+10110
?????0

 

Ďalej 1+1 je 2, to sa ale v dvojkovej sústave zapisuje ako 10 (čítaj „jeden nula“, nie „desať“). Výsledkom je teda číslo, ktoré sa zapisuj na dve cifry. Tie ale zapísať nemôžeme, preto zapíšeme len poslednú cifru z tohto čísla (0) a tú prvú cifru (1) si prenesieme ďalej.

 

111010
+10110
????00, 1 prenášame

 

Ďalej (tretie cifry od konca) máme 0+1, čo je 1, ale k tomu nesmieme zabudnúť pripočítať tú prenesenú jednotku. Čiže celkovo spočítavame 0+1+1, čo je dokopy 2, čiže v dvojkovej sústave 10, a opakuje sa situácia z predchádzajúceho kroku – nulu zapíšeme, jednotku prenesieme.

 

   1(prenesená z predchádzajúceho kroku)
111010
+10110
???000, 1 prenášame

 

Štvrté cifry od konca: 1+0 je 1, ale nezabudnime zas pripočítať jednotku, ktorú prenášame. Celkovo to teda bude 1+0+1, čo je dokopy 2, čiže 10 v dvojkovej, a teda zas zapíšeme 0 a jednotku prenesieme.

 

  1 (prenesená z predchádzajúceho kroku)
111010
+10110
??0000, 1 prenášame

 

Piate cifry od konca: 1+1 je 2, čiže 10, nezabudnime však prirátať jednotku, ktorú prenášame. Takže 1+1+1 je 3, čiže 11 v dvojkovej sústave, tentokrát teda zapíšeme jednotku (tú z „pravej strany“) a tú jednotku z ľavej strany si budeme prenášať do ďalšieho kroku.

 

 1 (prenesená z predchádzajúceho kroku)
111010
+10110
?10000, 1 prenášame

 

Šieste cifry od konca: tam už máme iba jednotku, ku ktorej treba pripočítať jednotku, ktorú sme prenášali z predchádzajúceho kroku. 1+1 bude teda 2, čiže 10 v dvojkovej sústave, čo už tentokrát môžeme rovno zapísať, lebo už žiadne ďalšie cifry na spočítavanie nemáme.

 

(prenesená z predchádzajúceho kroku)
 111010
+ 10110
1010000

 

A sme v cieli. 🙂

 

Odčitovanie

Aj pri odčitovaní budeme využívať podobné princípy ako v desiatkovej sústave, poďme si ich teda pripomenúť.

198
-99
???

 

Ako postupujeme? Znova ideme z pravej strany doľava, pričom sa pýtame: 9 a koľko mi chýba do 18? Všimnite si už teraz, že sme sa nepýtali, koľko nám chýba do osem, ale do osemnásť. A čo s tým? Odpoveď je 9, toto číslo teda zapíšeme, ale keďže sme sa pýtali, koľko nám chýba do 18, „jednotku“ sme si tam pridali, preto tú jednotku prenášame do ďalšieho kroku.

 

188
-99
??9, 1 prenášame

 

Čo ale teraz urobíme s tou prenesenou jednotkou? Najskôr ju pripočítame k „spodnej“ deviatke, dostaneme teda 9+1=10. A pýtame sa: desať a koľko nám chýba do osemnásť? Odpoveď je 8, to zapíšeme, znova sa však opakuje situácia z predchádzajúceho kroku – keďže sme si pridávali „jednotku“, musíme ju znova prenášať do ďalšieho kroku.

 

188
-99
?89, 1 prenášame

 

A čo s tou prenesenou jednotkou? Zas ju pripočítame k nasledujúcej cifre v spodnom čísle. Keďže tam ale momentálne žiadnu cifru nevidíme, znamená to, že je tam 0, pripočítavame ju teda k 0. A dostávame: 0+1 je 1. A pýtame sa: jeden a koľko mi chýba do jeden? Odpoveď je nula, nič neprenášame a príklad máme vyriešený.

 

198
-99
 89

 

Prejdime teraz k odčitovanie v dvojkovej sústave. Postupy, ktoré tu budeme používať, budú úplne zhodné s tými uvedenými pár riadkov vyššie, len si treba celý čas uvedomovať, že sa pohybujeme v dvojkovej sústave a teda cifry iné ako 0 a 1 tu nemáme.

 

Majme príklad:

 

 110101
- 11100
 ??????

 

Postupujeme teda zas z pravej strany smerom doľava. Najskôr prvé cifry: 0 (zdola) a koľko mi chýba do 1? Odpoveď je 1, to teda zapíšeme. Navyše – nemuseli sme si pridávať žiadnu jednotku, nič teda nebudeme prenášať.

 

 110101
- 11100
 ?????1

 

Postupujeme ďalej s druhými ciframi od konca. Pýtame sa: 0 a koľko mi chýba do 0? Odpoveď je jasná – nula. Zapíšeme si teda 0 a keďže sme si žiadnu jednotku nedopĺňali, opäť nič neprenášame a ideme ďalej.

 

 110101
- 11100
 ????01

 

Teraz máme tretie cifry od konca a pýtame sa: 1 a koľko mi chýba do 1? Odpoveď je zas nula, tú si teda zapíšeme a nič neprenášame ďalej.

 

 110101
- 11100
 ???001

 

Konečne príde niečo zaujímavé, ideme na štvrté cifry od konca a pýtame sa: 1 a koľko mi chýba do 10? Vidíte to? Nemôžem sa pýtať: 1 a koľko mi chýba do 0, musím si pred tú nulu pridať jednotku (podobne ako v desiatkovej sústave sme sa pýtali 9 a koľko mi chýba do 18?). Sme ale v dvojkovej sústave, preto odpoveď na otázku „1 a koľko mi chýba do 10?“ bude 1, nie deväť (10 (jeden nula) má hodnotu 2, nie desať). Zapíšeme si teda jednotku, ale keďže sme si k tomuto výpočtu jednotku pripisovali, nesmieme zabudnúť jednu jednotku prenášať.

 

 110101
- 11100
 ??1001, 1 prenášame

 

A čo teraz s tou prenesenou jednotkou? Pripočítame ju k spodnej jednotke (zelenej) a potom sa budeme pýtať, koľko mi chýba do čísla hore (červeného). Takže 1 + 1 (prenesená) je 10. A pýtame sa: 10 a koľko mi chýba do 11? Vidíte to (zas)? Nemohli sme sa pýtať 10 a koľko mi chýba do 1, ale zas sme si tam museli doplniť jednotku. Odpoveď je 1, to si zapíšeme, lenže keďže sme jednotku dopĺňali, potrebujeme si ju zas prenášať do ďalšieho kroku.

 

 110101
- 11100, tu sme k zelenej jednotke pripočítali prenesenú jednotku 
 ?11001, 1 prenášame

 

Šieste cifry z pravej strany: v spodnom čísle nemáme nič (čiže je tam 0). Máme ale jednotku, ktorú si prenášame z predchádzajúceho kroku, tú si teraz teda pripočítame k tomu „nič“ (k tej nule, ktorá tam nie je napísaná), teda 0 + 1 je 1. A pýtame sa: 1 a koľko mi chýba do 1? Odpoveď je nula. Tú zapíšeme a keďže sme si žiadnu jednotku nedopĺňali, nič neprenášame.

 

 110101
- 11100, tu si k 0, ktorá tam nie je napísaná, pripočítame prenesenú 1 
 011001

 

A sme v cieli. Výsledkom je číslo 011001, čo ale môžeme samozrejme zapísať ako 11001 (keďže nula na začiatku nijakým spôsobom neovplyvní hodnotu tohto čísla).

Násobenie

Ako v predchádzajúcich dvoch prípadoch, aj tu sa najskôr odvoláme na analógiu s desiatkovou sústavou. Majme teda príklad v desiatkovej sústave:

364
.25
???

Ako postupujeme? Najskôr si päťkou vynásobime celé horné číslo a zapíšeme to.

 364
. 25
1820

Potom celé horné číslo vynásobíme dvojkou, pričom výsledok si zapíšeme pod 1820 ale tak, že to posunieme o jedno miesto vľavo.

  364
.  25
 1820
728

Takto získané dve čísla už len spočítame a máme hotový výsledok:

  364
.  25
 1820
728  
9100

Zopakujme teraz uvedený postup v dvojkovej sústave, pričom platí jednoduché: 0.0 je 0, 1.0 = 0.1 = 0, 1.1 = 1. Majme takýto príklad:

10110
. 101
?????

Najskôr násobíme jednotkou celé horné číslo:

10110
. 101
10110

Teraz násobíme nulou celé horné číslo, pričom výsledok si zapíšeme o jedno miesto vľavo:

 10110
.  101
 10110
00000

A zas vynásobíme jednotkou celé horné číslo:

  10110
.   101
  10110
 00000
10110

Získané výsledky spočítame a máme celkový výsledok tohto násobenia:

  10110
.   101
  10110
 00000
10110
1101110